[파이썬] 위상 정렬

[위상 정렬이란 ?]

위상 정렬은 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.

 

위상 정렬 알고리즘 학습 시 진입차수(Indegree)와 진출차수(Outdegree)가 존재하는데,

 

진입차수는 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수이고, 진출차수는 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수이다.

 

큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.

 

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 삽입한다.

 

2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

 

   (1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.

 

   (2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

3. 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

 

 

구체적인 동작 과정은 아래의 게시물에서 확인할 수 있다.

 

https://unie2.tistory.com/44?category=873806 

위상 정렬(Topology Sort)

 

[위상 정렬의 특징]

1. 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다. ( DAG(Direct Acyclic Graph) ) : 순환하지 않는 방향 그래프

 

2. 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다. 즉, 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가

 

   있다면 여러 가지 답이 존재한다.

 

3. 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

 

   - 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.

 

4. 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

 

 

[위상 정렬 알고리즘 예제]

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력
v, e = map(int, input().split())

# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)

# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보 입력
for _ in range(e) :
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
  #진입 차수를 1 증가
  indegree[b] += 1

def topology_sort() :
  # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
  result = []
  #큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
  q = deque()
  # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
  for i in range(1, v+1) :
    if indegree[i] == 0 :
      q.append(i)
    
    # 큐가 빌 때까지 반복
  while q :
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
    for i in graph[now] :
      indegree[i] -= 1
      # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
      if indegree[i] == 0 :
        q.append(i)

  # 위상 정렬 수행 결과 출력
  for i in result :
    print(i, end=' ')

topology_sort()

 

 

[위상 정렬의 시간 복잡도]

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다. 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서

 

출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.

 

결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V + E)의 시간이 소요되는 것이다.

 

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출처

이것이 코딩 테스트다 with 파이썬 - 나동빈 저